こんにちは。学生スタッフのA.S.です。ブログ「ひまわりとフィボナッチ数列」で省略した細かい計算について確認します。

まずフィボナッチ数列について、\(F_n=F_{n-1}+F_{n-2} (n\ge3), F_1=0, F_2=1\)というルールで次のように書けます。

\(0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,……\)

一般項\(F_n\)について、\(F_n=\frac{1}{\sqrt5}(\frac{1+\sqrt5}{2})^n-(\frac{1-\sqrt5}{2})^n\)となることが知られています。ビネの公式と呼ばれているらしく、三項間の漸化式を解くことで証明できます。ここで注目していただきたいのは一般項の中に、黄金比に関係する \(\frac{1+\sqrt5}{2}\)が出てきていることです。

「この隣り合う二つの数の比が段々と黄金比\(1:\frac{1+\sqrt5}{2}\)に近づく」ことを隣り合う数\(F_n, F_{n+1}\)で確認します。「段々と」というのはnを∞に飛ばすという意味です。よって\(F_n:F_{n+1} = 1:\frac{1+\sqrt5}{2} (n\to\infty)\)を示したいので\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\frac{1+\sqrt5}{2}\)を示せばよいです。

\[\frac{F_{n+1}}{F_n}=\frac{\frac{1}{\sqrt5}((\frac{1+\sqrt5}{2})^{n+1}-(\frac{1-\sqrt5}{2})^{n+1})}{\frac{1}{\sqrt5}((\frac{1+\sqrt5}{2})^n-(\frac{1-\sqrt5}{2})^n)}\]

分かりやすく\(\frac{1+\sqrt5}{2}=\alpha, \frac{1-\sqrt5}{2}=\beta\)として、\(\frac{1}{\sqrt5}\)を約分します。なお\(\alpha>\beta\)です。

\(\frac{F_{n+1}}{F_n}=\frac{\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}}{\alpha^n-\beta^n}=\frac{\alpha-\beta(\frac{\beta}{\alpha})^n}{1-(\frac{\beta}{\alpha})^n}　※分母と分子を\alpha^nで割る。\)

\((\frac{\beta}{\alpha})^n\)が\(n\to\infty\)でどうなるかが分かればいいようです。ここで\(\alpha>\beta\)より、\(1>\frac{\beta}{\alpha}\)が分かります。例えば\(1>\frac{1}{2}\)について、\((\frac{1}{2})^n\)は\(\frac{1}{2}\)を何度もかけていくので、分母が大きくなって、最終的に0に近づくはずです。同じように\((\frac{\beta}{\alpha})^n\)も0に近づきます。以下のように便宜的に考えることができます。

\[\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\frac{\alpha-\beta\cdot0}{1-0}=\alpha=\frac{1+\sqrt5}{2}\]

よって、フィボナッチ数列の隣り合う二つの数の比が段々と黄金比\(1:\frac{1+\sqrt5}{2}\)に近づくことが確認できました。