こんにちは。学生スタッフのA.S.です。正多面体について、正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体の五種類しかないことが知られています。なぜ五種類しかないと言い切れるのでしょうか。実は私も理由を知らず、なるほど科学体験館にいらしたお客様に教えていただきましたので、まとめながら理解を深めます。

まず正多面体の定義について確認しておきましょう。多面体の中でも特に以下を満たすものだそうです。

(1)全ての面が合同な正多角形であること

(2)頂点に集まる面の数が等しいこと

(3)どこもへこんでいないこと

(1)(2)から頂点に集まる面は全て正多角形であることが分かります。そこで面に正m角形を使い、n枚頂点に集めて作ることを考えます。展開図は、例えば画像のようになります。画像は正五角形を3枚集めたものと4枚集めたものですが、4枚集めると360°を超えて重なってしまうことが分かります。つまり1枚の内角に注目すれば計算で求められそうです。

正m角形の内角は\(\frac{(m-2)×180}{m}\)で表されます。それをn枚集めたときに、360°より下になればいいので次の不等式になります。

\(\frac{(m-2)×180}{m}×n < 360\)

\((m-2)×n < 2m\)

\(mn-2n-2m < 0\)

\(mn-2n-2m+4-4 < 0\)

\((m-2)(n-2) < 4\)

これを満たすm, nを考えます。なお変形についてはmとnの掛け算が嬉しいなという気持ちです。まず正m角形ですので少なくともmは3以上であり、6より大きいと左辺が4より大きくなってしまうので、m=3, 4, 5ということが分かります。それぞれm=3のときはn=3, 4, 5、m=4のときはn=3、m=5のときはn=3となります。整理すると(m, n)=(3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 3), (5, 3)の5つしかないことが分かりました。

実際、正四面体は正三角形、正八面体は正三角形、正六面体は正四角形(正方形)、正二十面体は正三角形、正十二面体は正五角形で構成されています。