こんにちは。学生スタッフのA.S.です。「1+1=2」の証明が難しいというのは数学好きな方には有名な話かもしれません。「1」とはなんでしょうか？「+」とは？と考えていくと意外に説明が難しいことを実感していただけると思います。今回は証明の一端を感じていただくことを目的に頑張ります。

数、特に自然数とはなんでしょうか？全ての数は自然数の拡張で理解できるので、自然数の定義が重要です。自然数はペアノの公理によって定義されます(公理についてはブログ「定義と定理～公理とは～」で取り上げていますので是非ご覧ください)。

ペアノの公理の５つのルールは、集合論のもとに噛み砕くと以下の内容になります。

１．1は自然数である。

２．自然数の次の数も自然数である。

３．どの自然数も次の自然数は1にはならない。

(1は最初の自然数である。)

４．自然数の次の自然数は唯一つ決まる。

５．この公理を満たすのは自然数だけである。

つまり自然数とは１から始まったドミノ倒しということです。これで自然数について定義できました。

「+」について、重要なのは、ある自然数xに1を加えると次の自然数になるということです。これをy回繰り返すことで「x+y」を考えることができます。そして「=」は集合論から定義できます(「=」の定義方法は多岐にわたり、公理のようなものとする人もいるらしいです)。

以上で非常にざっくりではありますが、「1+1=2」を説明することができました。実際はペアノの公理について一意性、完全性等を示す必要があるので長くて難しくなります。数学の凄さと大変さを少しでも感じていただけたなら幸いです。