こんにちは、資料館学生スタッフの S.H.です。さて、唐突ですが、皆さんは少し前にネットで話題になった次の問題を知っていますか？

「ある非負整数係数多項式に二回数値を代入することでその多項式を決定できることを示せ、但し、２回目に代入する数値は１回目の数値を元に決めてよい」

一見不可能に見えるような問題ですが、次の事実を用いることで、実際にその多項式の決定の方法を構成することができます。

「任意の自然数に対して、その N 進数展開の仕方は一意的である。(N は 2 以上の自然数)」

解説します。ある自然数 n に対する N 進数展開とは、n を「n=a+bN+cN^2…」として表すことを言います。ここで、a,b,c…らは N 未満の自然数です。このように n を表す方法は必ず存在し、その表し方は一つしかない、ということです。ではこの事実を用いて、先の問題を解きましょう。

まず、与えられた多項式に 1 を代入します。そうして得られた値を M とします。次に多項式に M+1 を代入します。そうして得られた値を M+1 進数展開して、a+bM+cM^2…と表せたとします。この時、この表示は一意的ですが、元の多項式に現れる係数は、最初の行程のより M 以下であることがわかります。よって、表示の一意性から、元の多項式も a+bx+cx^2…という形をしていることがわかります。

さて、なぜこのようなことができたのか、一つは先に伝えた事実からですが、もう一つ、1 を代入することによって、各係数の大きさを上から測れるということがあります。これは整数ではできないことです。整数には負の数があるためです。

しばしば、「自然数は代数的に扱いづらい対象だ」と語られます。これはどういうことかというと、自然数には和も積も定義できます。しかし、それらには逆元がないのです。逆元とは和で言えば足して 0 になる数、積で言えばかけて 1 になる数のことを言います。例えば 2 に関する和の逆元は-2 で、積に関する逆元は 1/2 です。

これを見てわかる通り、どちらも自然数ではありません。この事実は自然数を代数的に定義する（和や積の性質を用いて定義する）ときにとても厄介な問題として現れます。しかし、こと今回においては、その逆元の非存在性が役に立っているのです。

ある側面では困った事実が、ある側面では役に立つ、そんな問題ですね。皆さんも数学の問題を解いたとき、こんなふうに問題の背景に触れてみてはいかがでしょうか。