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応用解析学特論（一）のシラバス情報

科目名称 Course title(Japanese)	応用解析学特論（一）	科目番号 Course number	11MAANA514
科目名称（英語） Course title(English)	Advanced Applied Analysis 1
授業名称 Class name	応用解析学特論（一）

教員名	加藤　圭一
Instructor	Keiichi Kato

開講年度学期	2022年度後期
Year/Semester	2022 / Second semester

曜日時限	水曜3限
Class hours	Wednesday 3rd period

開講学科 Department	理学研究科　数学専攻 Graduate School of Science, Department of Mathematics
外国語のみの科目（使用言語） Course in only foreign languages (languages)	-

単位 Course credit	2.0	授業の主な実施形態 Main class format	ブレンド型授業/Blended format

概要 Descriptions	フーリエ変換の定義から始めて，フーリエ変換を用いた偏微分方程式の解法を学ぶ．関連する不等式やデュアメルの原理について丁寧に解説する．また，緩増加超函数，ソボレフ空間についても簡単に紹介する． We study how to solve several fundamental partial differential equations by using Fourier transform. We introduce associate inequalities, Duhamel's principle, tempered distributions and Sobolev spaces.
目的 Objectives	フーリエ変換を用いて熱方程式，波動方程式，自由粒子のシュレーディンガー方程式などの基本的な偏微分方程式をとくことにより，偏微分方程式は偏微分方程式の型ごとに違う特徴を持つことを実感することが目的である． The objectives are to know how to solve fundamental partial differential equations such as the heat equation, the wave equation, Schrödinger equation of a free particle by using Fourier transform and to know that such fundamental partial differential equations have original properties.
到達目標 Outcomes	到達目標は以下の３つである．１．　フーリエ変換を用いて，熱方程式，波動方程式，自由粒子のシュレーディンガー方程式が解けるようになること． 2. デュアメルの原理を用いて，非斉次方程式の初期値問題が解けるようになること．３．ヘルダーの不等式やハウスドルフ＝ヤングの不等式が使えるようになること． 1. To know how to solve fundamental partial differential equations such as the heat equation, the wave equation, Schrödinger equation of a free particle by using Fourier transform. 2. To know how to solve inhomogeneous initial value problem of fundamental equations by using Duhamel's principle. 3. To know how to use Hölder's ineqality and Hausdorff-Young inequality.
履修上の注意 Course notes prerequisites	Lebesgue積分の知識があることが望ましいが，Lebesgue積分を未修の学生にもわかるよう配慮する． It is preferable to learn Lebesgue integral theory.

アクティブ・ラーニング科目 Teaching type（Active Learning）
課題に対する作文 Essay	-	小テストの実施 Quiz type test	-
ディベート・ディスカッション Debate/Discussion	-	グループワーク Group work	◯
プレゼンテーション Presentation	-	反転授業 Flipped classroom	◯
その他（自由記述） Other（Describe）	-

準備学習・復習 Preparation and review
成績評価方法 Performance grading policy	平常点(授業中に行った作業および課題提出）60%および最終レポート（最終課題に対するレポート）40%により評価する． Evaluate the performance of the class(60%) and reports(40%).
学修成果の評価 Evaluation of academic achievement	・S：到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている・A：到達目標を十分に達成している・B：到達目標を達成している・C：到達目標を最低限達成している・D：到達目標を達成していない・-：学修成果の評価を判断する要件を欠格している・S：Achieved outcomes, excellent result ・A：Achieved outcomes, good result ・B：Achieved outcomes ・C：Minimally achieved outcomes ・D：Did not achieve outcomes ・-：Failed to meet even the minimal requirements for evaluation
教科書 Textbooks/Readings	・教科書を使用する場合は、MyKiTS(教科書販売サイト)から検索・購入可能ですので以下のURLにアクセスしてください。 https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/ 　・Search and purchase the necessary textbooks from MyKiTS (textbook sales site) with the link below. https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/
参考書・その他資料 Reference and other materials	熊ノ郷準著「偏微分方程式」(共立出版） Hitoshi Kumano-go "Partial differential equations", (Kyoritsu-Shuppan) in japanese.

授業計画 Class plan	1.　　偏微分方程式の型　　偏微分方程式の型を理解する． 2. 　　Schwartzの急減少関数　　　Schwartzの急減少関数の定義，フーリエ変換を学ぶ． 3. フーリエの反転公式　フーリエの反転公式を理解し，その証明を行う．４．　L^2空間のフーリエ変換 L^2空間のフーリエ変換の定義と基本的な性質を学ぶ． 5. 熱方程式の基本解　　フーリエ変換により熱方程式の基本解を求める． 6. ヘルダーの不等式とハウスドルフ＝ヤングの不等式ヘルダーの不等式およびハルスドルフ＝ヤングの不等式を理解し，その証明を学ぶ．７. 熱方程式の初期値問題　　熱方程式の基本解を用いて，熱方程式の初期値問題を解く． 8. 　波動方程式の初期値問題　　波動方程式の初期値問題をフーリエ変換を用いて表現する． 9. 　波動方程式の基本解　　波動方程式の基本解を求める． 10. 　自由粒子のSchrödinger方程式の基本解　　自由粒子のSchrödinger方程式の基本解をフーリエ変換を用いて求める． 11. 　　Schrödinger方程式の解の性質　　自由粒子のSchrödinger方程式の基本解を用いて，自由粒子のSchrödinger方程式の解の性質を調べる． 12. デュアメルの原理　非斉次方程式を解くためのデュアメルの原理を理解し，熱方程式に応用する． 13. デュアメルの原理２　　前回にデュアメルの原理で作った解が方程式を満たしていることを確かめる． 14. 緩増加超函数とソボレフ空間　緩増加超函数を定義し，その部分集合としてソボレフ空間を定義する． 15. まとめ　本講義のまとめを行う．本講義で学んだ内容がどのように応用できるかについて学ぶ． 1. types of partial differential equations. 2. Rapidly decreasing functions of Schwartz and its Fourier transform. 3. Fourier inversion formula. 4. Fourier tranform in L^2 5. Fundamental solution of the heat equation. 6. Hölder's ineqality and Hausdorff-Young inequality 7. Initial value problem of the heat equation. 8. Initial value problem of the wave equation. 9. Fundamental solution of the wave equation. 10. Fundamental solution of Schrödinger equation of a free particle. 11. Properties of solutions to Schrödinger equation of a free particle. 12. Duhamel's principle 13. Duhamel's principle(continued) 14. Tempered distributions and Sobolev spaces 15. Some applications

授業計画
Class plan

1.　　偏微分方程式の型
　　偏微分方程式の型を理解する．

2. 　　Schwartzの急減少関数　
　　Schwartzの急減少関数の定義，フーリエ変換を学ぶ．

3. フーリエの反転公式
　フーリエの反転公式を理解し，その証明を行う．

４．　L^2空間のフーリエ変換
L^2空間のフーリエ変換の定義と基本的な性質を学ぶ．

5. 熱方程式の基本解
　　フーリエ変換により熱方程式の基本解を求める．

6. ヘルダーの不等式とハウスドルフ＝ヤングの不等式
ヘルダーの不等式およびハルスドルフ＝ヤングの不等式を理解し，その証明を学ぶ．

７. 熱方程式の初期値問題
　　熱方程式の基本解を用いて，熱方程式の初期値問題を解く．

8. 　波動方程式の初期値問題
　　波動方程式の初期値問題をフーリエ変換を用いて表現する．

9. 　波動方程式の基本解
　　波動方程式の基本解を求める．

10. 　自由粒子のSchrödinger方程式の基本解
　　自由粒子のSchrödinger方程式の基本解をフーリエ変換を用いて求める．

11. 　　Schrödinger方程式の解の性質
　　自由粒子のSchrödinger方程式の基本解を用いて，自由粒子のSchrödinger方程式の解の性質を調べる．

12. デュアメルの原理
　非斉次方程式を解くためのデュアメルの原理を理解し，熱方程式に応用する．

13. デュアメルの原理２
　　前回にデュアメルの原理で作った解が方程式を満たしていることを確かめる．

14. 緩増加超函数とソボレフ空間
　緩増加超函数を定義し，その部分集合としてソボレフ空間を定義する．

15. まとめ
　本講義のまとめを行う．本講義で学んだ内容がどのように応用できるかについて学ぶ．

1. types of partial differential equations.

2. Rapidly decreasing functions of Schwartz and its Fourier transform.

3. Fourier inversion formula.

4. Fourier tranform in L^2

5. Fundamental solution of the heat equation.

6. Hölder's ineqality and Hausdorff-Young inequality

7. Initial value problem of the heat equation.

8. Initial value problem of the wave equation.

9. Fundamental solution of the wave equation.

10. Fundamental solution of Schrödinger equation of a free particle.

11. Properties of solutions to Schrödinger equation of a free particle.

12. Duhamel's principle

13. Duhamel's principle(continued)

14. Tempered distributions and Sobolev spaces

15. Some applications

教職課程 Teacher-training course
実務経験 Practical experience	-
教育用ソフトウェア Educational software	-

備考 Remarks

991BA65