積分論のシラバス情報

科目名称
Course title(Japanese)
積分論 科目番号
Course number
11MAANA301
科目名称(英語)
Course title(English)
Integration Theory
授業名称
Class name
積分論
教員名 加藤 圭一,只野 之英
Instructor Keiichi Kato, Taisuke Yoneyama
開講年度学期 2022年度 前期
Year/Semester 2020/First semester
曜日時限 月曜2限 月曜3限
Class hours Monday 2nd period, Monday 3rd period
開講学科
Department
理学部第一部 数学科
外国語のみの科目
(使用言語)
Course in only foreign
languages (languages)
-
単位
Course credit
3.0 授業の主な実施形態
Main class format
ブレンド型授業/Blended format
概要
Descriptions
現代数学の重要な基礎理論の1つであるLebesgue積分論を基礎から解説する。
目的
Objectives
Lebesgue積分論が解析学専攻の学生の必修科目であることは言うまでもないが、数学のさまざまな分野(例えば確率論等)で大変有用な理論である。その理由の1つとして、積分と極限の順序交換や積分記号下での微分に関する定理がRiemann積分のときよりも簡明であることがあげられる。本講義では,最初にR上のルベーグ積分を紹介し,その後で一般の集合上のルベーグ積分について解説する.
到達目標
Outcomes
1.Lebesgue積分が,Riemann積分に対して有利な点について理解する.
2.Lebesgueの優収束定理が具体的な問題で使えるようになる.
3.具体的な問題で,微分と積分の交換可能か判定できるようになる.
4.実数上のLebesgue積分の概要が説明できる.
履修上の注意
Course notes prerequisites
1年次の「微積分学」で学んだεーδ論法の復習をしておくことおよび1年次の「論理と集合」の集合の部分を復習しておくこと.
アクティブ・ラーニング科目
Teaching type(Active Learning)
課題に対する作文
Essay
- 小テストの実施
Quiz type test
-
ディベート・ディスカッション
Debate/Discussion
- グループワーク
Group work
-
プレゼンテーション
Presentation
- 反転授業
Flipped classroom
その他(自由記述)
Other(Describe)
-
準備学習・復習
Preparation and review
必ず授業の復習をすること.レポート課題を授業の補助として与えるので,必ず提出すること.
成績評価方法
Performance grading
policy
演習の成績(演習での課題提出)30%, 平常点(課題提出)10%, 到達度評価60%で評価する.
学修成果の評価
Evaluation of academic
achievement
・S:到達目標を十分に達成し、極めて優秀な成果を収めている
・A:到達目標を十分に達成している
・B:到達目標を達成している
・C:到達目標を最低限達成している
・D:到達目標を達成していない
・-:学修成果の評価を判断する要件を欠格している

・S:Achieved outcomes, excellent result
・A:Achieved outcomes, good result
・B:Achieved outcomes
・C:Minimally achieved outcomes
・D:Did not achieve outcomes
・-:Failed to meet even the minimal requirements for evaluation
教科書
Textbooks/Readings
・教科書を使用する場合は、MyKiTS(教科書販売サイト)から検索・購入可能ですので以下のURLにアクセスしてください。
https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/
 
・Search and purchase the necessary textbooks from MyKiTS (textbook sales site) with the link below.
https://gomykits.kinokuniya.co.jp/tokyorika/
参考書・その他資料
Reference and other materials
数学編集委員会編「理工系の基礎 数学I」(丸善出版)第4章第7節ルベーク積分
藤田宏,吉田耕作著「現代解析入門」(岩波書店)
吉田 洋一 著 「ルベグ積分入門」(培風館)
伊藤 清三 著 「ルベーグ積分入門」(裳華房)
授業計画
Class plan
第1回 ルベーグ積分の必要性
リーマン積分の問題点とルベーグ積分の有利な点を理解する.
第2回 R上のルベーグ可測集合と測度
R上の零集合,ルベーグ可測集合,ルベーグ測度について理解する.
第3回 ルベーグ可測集合の性質
ルベーグ可測集合の基本的な性質を理解する.
第4回 ルベーグ測度,ルベーグ可測関数
ルベーグ測度の基本的な性質を理解する.また,ルベーグ可測関数の定義と基本的な性質について理解する.
第5回 ルベーグ積分
ルベーグ積分の定義および基本的な性質について理解する.
第6回 Fatouの補題,ルベーグの優収束定理
Fatouの補題およびルベーグの優収束定理について理解し,使い方を学ぶ.
第7回 ルベーグ積分とリーマン積分の関係
リーマン積分可能な関数はルベーグ積分可能であって,その積分の値は一致することを理解する.
第8回 カラテオドリによる測度の構成
カラテオドリの方法によるルベーグ測度の導入について理解する.
第9回 ボレル可測とルベーグ可測
ボレル可測とルベーグ可測の違いを理解する.
第10回 ルベーグ測度の完備性
ルベーグ測度の完備性について理解する.
第11回 フビニの定理1
単関数に対するフビニの定理の証明を理解する.
第12回 フビニの定理2
フビニの定理の証明を理解する.
第13回 フビニの定理3
フビニの定理の応用の仕方を理解する.
第14回 微分と積分の関係
絶対連続関数はほとんど至る所微分可能で積分して元に戻ることを理解する.
第15回 到達度評価と解説
これまでの理解度を試験により評価し,解説を行う.
教職課程
Teacher-training course
本科目は、教育職員免許状取得(教科:数学)に必要な教科に関する科目の「解析学」区分に該当します。
ただし、教科に関する科目区分については、入学年度により異なるため、各自、入学年度または適用となる年度の学修簿により確認をしてください。
実務経験
Practical experience
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教育用ソフトウェア
Educational software
-
備考
Remarks
9911358
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